Question

14．若数列{a_n}满足a₂-a₁＜a₃-a₂＜a₄-a₃＜…＜a_n+1-a_n＜_…，则称数列{a_n}为“差递增”数列．若数列{a_n}是“差递增”数列，且其通项a_n与其前n项和S_n满足3S_n=1+λ-2a_n（n∈N^*），则λ的取值范围是（-1，+∞）．

Answer 1

分析 根据数列递推公式得到数列{a_n}是以2为公比的等比数列，求出数列{a_n}的通项公式，再根据新定义，即可求出λ的范围．

解答 解：∵3S_n=1+λ-2a_n（n∈N^*），
n≥2时，3S_n-1=1+λ-2a_n-1，
两式相减得5a_n=2a_n-1．
故数列{a_n}是以$\frac{2}{5}$为公比的等比数列，
当n=1时，a₁=$\frac{1+λ}{5}$，∴a_n=$\frac{1+λ}{5}•（\frac{2}{5}）^{n-1}$，
可得a_n+1-a_n=$\frac{1+λ}{5}×（\frac{2}{5}）^{n-1}×（-\frac{3}{5}）$，a_n-a_n-1=$\frac{1+λ}{5}×（\frac{2}{5}）^{n-2}×（-\frac{3}{5}）$，
由此可得（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=$\frac{1+λ}{5}×（\frac{2}{5}）^{n-2}（-\frac{3}{5}）^{2}＞0$，
可得1+λ＞0⇒λ＞-1
故答案为：（-1，+∞）

点评 本题考查了递推关系、不等式的解法、新定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．