【题目】在四棱锥的底面中,∥,,平面,是的中点,且
(1)求证:∥平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)在线段内是否存在点,使得?若存在指出点的位置,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析; (2); (3)线段上存在中点,使得.
【解析】
(1)连接,证得四边形为平行四边形,得到,利用线面平行的判定定理,即可证得∥平面;
(2)建立空间直角坐标系,求得平面和平面的法向量,利用向量的夹角公式,即可求解;
(3)假设存在,设出点E的坐标,通过时,向量的数量积为0,建立方程,即可求解.
(1)连接,因为是的中点,,
所以,且,
所以四边形为平行四边形,所以,
又因为平面,平面,
所以∥平面;
(2)由(1)可知,四边形也是平行四边形,
又由,所以四边形是正方形,所以,
又由平面,所以以O为原点,所在的直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,
可得,
设平面的一个法向量为,则,可取,
设平面的一个法向量为,则,可取,
设二面角的平面角为,
即二面角的余弦值为.
(3)假设线段上存在点E,且满足,
设,则,所以,即,
所以,
又由,可得,
所以,解得,
即线段上存在中点,使得.
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【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线:.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)设曲线与直线的交点为,,是曲线上的动点,求面积的最大值.
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【题目】在锐角△ABC中,a=2,_______,求△ABC的周长l的范围.
在①(﹣cos,sin),(cos,sin),且,②cosA(2b﹣c)=acosC,③f(x)=cosxcos(x),f(A)
注:这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并对其进行求解.
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【题目】已知自变量为的函数.其中,为自然对数的底,.
(Ⅰ)求函数与的单调区间,并且讨论函数的单调性;
(Ⅱ)已知,求证:
(ⅰ)方程有两个根,;
(ⅱ)若(ⅰ)中的两个根满足,,则,.
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【题目】如图两个同心球,球心均为点,其中大球与小球的表面积之比为3:1,线段与是夹在两个球体之间的内弦,其中两点在小球上,两点在大球上,两内弦均不穿过小球内部.当四面体的体积达到最大值时,此时异面直线与的夹角为,则( )
A.B.C.D.
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【题目】依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示;依据当地的地质构造,得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙)所示.
试估计该河流在8月份水位的中位数;
(1)以此频率作为概率,试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率;
(2)该河流域某企业,在8月份,若没受1、2级灾害影响,利润为500万元;若受1级灾害影响,则亏损100万元;若受2级灾害影响则亏损1000万元.
现此企业有如下三种应对方案:
方案 | 防控等级 | 费用(单位:万元) |
方案一 | 无措施 | 0 |
方案二 | 防控1级灾害 | 40 |
方案三 | 防控2级灾害 | 100 |
试问,如仅从利润考虑,该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.
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