Question

8．设定义在区间[-m，m]上的函数f（x）=log₂$\frac{1+nx}{1-2x}$是奇函数（n≠-2），则n^m的范围为（1，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 由题意可得，m为正实数，根据f（-x）=-f（x），可得n=±2．再由n≠-2可得n=2．再由函数的解析式解求得函数的定义域为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．根据函数f（x）定义在区间[-m，m]上，可得0＜m＜$\frac{1}{2}$，从而求得n^m 的范围．

解答 解：由题意可得，m为正实数，f（-x）=-f（x），化简可得$lo{g}_{2}\frac{1-（nx）^{2}}{1-4{x}^{2}}$=0，n=±2．
∵n≠-2，∴n=2，函数的解析式为f（x）=log₂$\frac{1+2x}{1-2x}$，可得$\frac{1+2x}{1-2x}$＞0，即（2x+1）（2x-1）＜0，
解得-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$，故函数的定义域为 （-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
再由函数f（x）定义在区间[-m，m]上，可得0＜m＜$\frac{1}{2}$，故1＜n^m＜$\sqrt{2}$，
故答案为：（1，$\sqrt{2}$）．

点评 本题主要求函数的奇偶性，求函数的定义域，不等式的性质，属于基础题．