Question

9．如图所示，单位位圆上的两个向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$相互垂直，若向量$\overrightarrow{c}$满足（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$）=0，则|$\overrightarrow{c}$|的取值范围是（　　）

• A． [0，1]
• B． [0，$\sqrt{2}$]
• C． [1，$\sqrt{2}$]
• D． [1，2]

Answer 1

分析 先由条件可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，这样便可由$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}）=0$得出$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{2}cos＜\overrightarrow{c}，\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}＞$，从而得出$|\overrightarrow{c}|$的取值范围．

解答 解：由条件，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}=\sqrt{2}$；
∵$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}）=0$；
∴${\overrightarrow{c}}^{2}-\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）=0$；
∴$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{2}cos＜\overrightarrow{c}，\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}＞$；
∴$0≤|\overrightarrow{c}|≤\sqrt{2}$；
∴$|\overrightarrow{c}|$的取值范围为$[0，\sqrt{2}]$．
故选B．

点评 考查向量垂直的充要条件，单位向量的概念，向量数量积的运算及计算公式．