Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n-3a_n+2n=0（其中n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，且T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n；
（Ⅲ）设，数列{c_n}的前n项和为M_n，求证：．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵2S_n-3a_n+2n=0①，
∴2S_n+1-3a_n+1+2（n+1）②，
②-①得：2a_n+1-3（a_n+1-a_n）+2=0，
∴a_n+1=3a_n+3．
∴a_n+1+1=3（a_n+1），
∴=3，
又2a₁-3a₁+2=0，故a₁=2，a₁+1=3，
∴数列{a_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，
∴a_n+1=3•3^n-1=3ⁿ，
∴a_n=3ⁿ-1．
（Ⅱ）∵b_n===，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=+++…+，③
T_n=++…++④
③-④得：T_n=++…+-=-，
∴T_n=-•．
（Ⅲ）∵
=+
=+
=2-+．
∴M_n=c₁+c₂+…+c_n=2n-[（-）+（-）+…+（-）]．
∵＜，＞，-＜-，
∴-＜-，⑤
同理-＜-，⑥
…
-＜-⑦
∴（-）+（-）+…+（-）＜-＜
∴-[（-）+（-）+…+（-）]＞-
∴M_n＞2n-．
分析：（Ⅰ）由2S_n-3a_n+2n=0①，可得2S_n+1-3a_n+1+2（n+1）②，由①②即可证得数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求得b_n=，利用错位相减法即可求得T_n；
（Ⅲ）可求得c_n═2-+，M_n=c₁+c₂+…+c_n=2n-[（-）+（-）+…+（-）]．利用放缩法与累加法即可证明结论．
点评：本题考查数列与不等式的综合，着重考查等比关系的确定于数列的求和，突出错位相减法与放缩法、累加法的应用，综合题性强，属于难题．