Question

已知函数f（x）=e^x-1（e是自然对数的底数）．
（1）证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立；
（2）数列{

lnn

n2

}（n∈N⁺）的前n项和为T_n，求证：T_n＜

n2

2(n+1)

．

Answer 1

分析：（1）对函数h（x）=f（x）-x进行求导，通过判断函数h（x）的增减性求出其最小值大于等于0即可．
（2）由（1）可得不等式e^x-1≥x成立，转化可得

lnn

n2

≤

1

2

(1-

1

n

+

1

n+1

)，表示出T_n将

lnn

n2

≤

1

2

(1-

1

n

+

1

n+1

)代入即可得到答案．

解答：解：（I）设h（x）=f（x）-x=e^x-1-x
∴h'（x）=e^x-1-1，
当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，
当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，
当x=1时，h（x）取最小值h（1）=0．
∴h（x）≥h（1）=0，即f（x）≥x
（II）由（I）可知，对任意的实数x，不等式e^x-1≥x恒成立，
所以en2-1≥n2，lnen2-1≥lnn²，即n²-1≥lnn²，
1-

1

n2

≥

lnn2

n2

=

2lnn

n2

，

lnn

n2

≤

1

2

(1-

1

n2

)＜

1

2

(1-

1

n(n+1)

)=

1

2

(1-

1

n

+

1

n+1

)
Tn=

ln1

12

+

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

1

2

[(1-1+

1

2

)+(1-

1

2

+

1

3

)+(1-

1

3

+

1

4

)+…+(1-

1

n

+

1

n+1

)]
=

1

2

[n-1+

1

n+1

]=

1

2

×

n2

n+1

=

n2

2(n+1)

点评：本题主要考查通过求函数的导数来判断函数的单调性问题．还考查不等式的转化问题．