Question

3．如图△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD=a，M是EA的中点．（1）求证：（1）DM∥平面ABC；
（2）CM⊥AD；
（3）求这个多面体的体积．

Answer 1

分析 （1）取AC的中点F，连接EF，BF．利用极限中位线定理及其已知可得MF$\underset{∥}{=}$BD，于是四边形BDMF是平行四边形．可得DM∥BF，利用线面平行的判定定理可得DM∥平面ABC．
（2）利用正三角形的性质可得BF⊥AC，利用线面垂直的性质定理可得：EC⊥AF，可得BF⊥平面ACE，可得BF⊥CM．又DM∥AE，可得DM⊥CM．利用等腰三角形的性质可得CM⊥EA．CM⊥平面ADE．即可证明结论，CM⊥AD．
（3）S_梯形BCED=$\frac{（DB+CE）×BC}{2}$．利用正三角形的性质可得：点BC边上的高h_A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．可得这个多面体的体积V=$\frac{1}{3}{h}_{A}•{S}_{梯形BCED}$．

解答 （1）证明：取AC的中点F，连接EF，BF．
又M是EA的中点，∴MF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}CE$，又$BD\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CE，
∴MF$\underset{∥}{=}$BD，∴四边形BDMF是平行四边形．
∴DM∥BF，又DM?平面ABC，BF?平面ABC．
∴DM∥平面ABC．
（2）证明：∵△ABC为正三角形，CF=FA，
∴BF⊥AC，
又EC⊥平面ABC，AF?平面ABC，∴EC⊥AF，
又EC∩AC=A，∴BF⊥平面ACE，CM?平面ACE，
∴BF⊥CM．又DM∥AE，∴DM⊥CM．
∵CE=CA，M是EA的中点，∴CM⊥EA．
又EA∩MD=M，∴CM⊥平面ADE．
又AD?平面ADE，∴CM⊥AD．
（3）解：S_梯形BCED=$\frac{（DB+CE）×BC}{2}$=$\frac{（\frac{a}{2}+a）×a}{2}$=$\frac{3}{4}{a}^{2}$．
∵△ABC是边长为a的正三角形，∴点BC边上的高h_A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．
这个多面体的体积V=$\frac{1}{3}{h}_{A}•{S}_{梯形BCED}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$×$\frac{3}{4}{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$a³．

点评 本题考查了空间位置关系、线面面面垂直的判定与性质定理、等腰三角形与正三角形的性质、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．