【题目】给出下列四个命题:
①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件;②“当为某一实数时,可使”是不可能事件;③“明天兰州要下雨”是必然事件;④“从100个灯泡中取出5个,5个都是次品”是随机事件.
其中正确命题的序号是( )
A.①②③④B.①②③C.①②④D.①②
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【题目】如图,在正三棱柱中,,,由顶点沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线与棱的交点记为,求:
(1)三棱柱的侧面展开科的对角线长;
(2)该最短路线的长及的值;
(3)平面与平面所成二面角(锐角)的大小.
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【题目】为了了解我市参加2018年全国高中数学联赛的学生考试结果情况,从中选取60名同学将其成绩(百分制,均为正数)分成六组后,得到部分频率分布直方图(如图),观察图形,回答下列问题:
(1)求分数在内的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)根据频率分布直方图,估计本次考试成绩的众数、均值;
(3)根据评奖规则,排名靠前10%的同学可以获奖,请你估计获奖的同学至少需要所少分?
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【题目】如图,有一张半径为1米的圆形铁皮,工人师傅需要剪一块顶角为锐角的等腰三角形,不妨设 , 边上的高为 ,圆心为 ,为了使三角形的面积最大,我们设计了两种方案.
(1)方案1:设 为 ,用表示 的面积 ; 方案2:设的高为,用表示 的面积;
(2)请从(1)中的两种方案中选择一种,求出面积的最大值
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【题目】设数列的首项为,前项和为,若对任意的,均有(是常数且)成立,则称数列为“数列”.
(1)若数列为“数列”,求数列的通项公式;
(2)是否存在数列既是“数列”,也是“数列”?若存在,求出符合条件的数列的通项公式及对应的的值;若不存在,请说明理由;
(3)若数列为“数列”, ,设,证明: .
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),直线交椭圆E于A,B两点,△ABF1的周长为16,△AF1F2的周长为12.
(1)求椭圆E的标准方程与离心率;
(2)若直线l与椭圆E交于C,D两点,且P(2,2)是线段CD的中点,求直线l的一般方程.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆过点,离心率为.分别是椭圆的上、下顶点,是椭圆上异于的一点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点在直线上,且,求的面积;
(3)过点作斜率为的直线分别交椭圆于另一点,交轴于点,且点在线段上(不包括端点),直线与直线交于点,求的值.
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