Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（m+1）-ma_n对任意正整数n都成立，其中m为常数，且m＜-1，
（1）求证：{a_n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足：b1=

1

3

a1，bn=f(bn-1)(n≥2，n∈N)，求数列{b_n•b_n+1}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n=（m+1）-ma_n可得S_n+1=（m+1）-ma_n+1，两式相减即可证得{a_n}是等比数列；
（2）由（1）可求得a₁，从而可得b₁，由q=f(m)=

m

m+1

，bn=f(bn-1)=

bn-1

bn-1+1

，可求

1

bn

，从而求得b_n=

1

n+2

(n≥1)，继而有bn•bn+1=

1

n+2

-

1

n+3

，T_n可求．

解答：解：（1）由已知S_n=（m+1）-ma_n，S_n+1=（m+1）-ma_n+1，相减，
得：a_n+1=ma_n-ma_n+1，
即

an+1

an

=

m

m+1

，
所以{a_n}是等比数列
（2）当n=1时，a₁=m+1-ma₁，
则a₁=1，
从而b1=

1

3

，
由（1）知q=f(m)=

m

m+1

，
所以bn=f(bn-1)=

bn-1

bn-1+1

（n≥2）
∴

1

bn

=1+

1

bn-1

，
∴

1

bn

=3+(n-1)=n+2，
bn=

1

n+2

(n≥1)，
∴bn•bn+1=

1

(n+2)(n+3)

=

1

n+2

-

1

n+3

Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1=(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+…+(

1

n+2

-

1

n+3

)=

1

3

-

1

n+3

=

n

3n+9

．

点评：本题考查数列的求和，难点在于求b_n，着重考查学生裂项法求和，属于中档题．