Question

12．设（1+x）³+（1+x）⁴+…+（1+x）⁵⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅₀x⁵⁰，则a₃等于（　　）

• A． C${\;}_{51}^{3}$
• B． C${\;}_{51}^{4}$
• C． 2C${\;}_{50}^{3}$
• D． C${\;}_{50}^{4}$

Answer 1

分析 （1+x）³中，含x³的系数为${C}_{3}^{3}$，（1+x）⁴中，含x³的系数为${C}_{4}^{3}$，…，（1+x）⁵⁰中，含x³的系数为${C}_{50}^{3}$，利用组合数的性质${C}_{n}^{m}$+${C}_{n}^{m-1}$=${C}_{n+1}^{m}$即可得到答案．

解答 解：依题意，a₃=${C}_{3}^{3}$+${C}_{4}^{3}$+${C}_{5}^{3}$+…+${C}_{50}^{3}$
=（${C}_{4}^{4}$+${C}_{4}^{3}$）+${C}_{5}^{3}$+…+${C}_{50}^{3}$
=（${C}_{5}^{4}$+${C}_{5}^{3}$）+${C}_{6}^{3}$+…+${C}_{50}^{3}$
=${C}_{50}^{4}$+${C}_{50}^{3}$
=${C}_{51}^{4}$．
故选：B．

点评 本题考查二项式定理的应用，着重考查组合数的性质${C}_{n}^{m}$+${C}_{n}^{m-1}$=${C}_{n+1}^{m}$的应用，属于中档题．