Question

如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=BD=6，O为AC，BD的交点．将四边形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，M为BC的中点，且BD=3

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（Ⅰ）求证：OM∥平面ABD
（Ⅱ）求证：平面ABC丄平面MDO．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知得四边形ABCD是菱形，从而OM∥AB，由此能证明OM∥平面ABD．
（Ⅱ）由已知得OD⊥OB，OD⊥AC，从而OD⊥平面ABC，由此能证明平面ABC⊥平面MDO．

解答： 证明：（Ⅰ）因为AB=BC=CD=DA，所以四边形ABCD是菱形，…（2分）
因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，所以O是AC的中点．
又点M是BC的中点，
所以OM是△ABC的中位线，所以OM∥AB．…（5分）
因为OM不包含于平面ABD，AB?平面ABD，
所以OM∥平面ABD．…（6分）
（Ⅱ）由题意知，OB=OD=3，
因为BD=3

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，所以∠BOD=90°，OD⊥OB．…（8分）
又因为菱形ABCD中，OD⊥AC，
而OB∩AC=O，所以OD⊥平面ABC，…（10分）
因为OD?平面MDO，所以平面ABC⊥平面MDO．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．