Question

已知圆A：x2＋y2－2x－2y－2＝0.

（1）若直线l：ax＋by－4＝0平分圆A的周长，求原点O到直线l的距离的最大值；

（2）若圆B平分圆A的周长，圆心B在直线y＝2x上，求符合条件且半径最小的圆B的方程．

Answer 1

（1）；（2）（x－）2＋（y－）2＝

【解析】

试题分析：将圆的方程化为标准方程，圆心为，半径为

（1）直线平分圆的周长即圆的圆心在直线上，得到之间的关系：，同时利用点到直线的距离公式，得到原点到直线的距离，根据二次函数的图像，解得当时，的最大值为；（2）圆平分圆的周长,则两圆的交点弦一定通过圆的圆心点，设，由垂径定理并结合图形得到圆的半径取得最小时，,进而得到半径最小时圆的方程.

试题解析：（1）圆A的方程即（x－1）2＋（y－1）2＝4，其圆心为A（1,1），半径为r＝2.

由题意知直线l经过圆心A（1,1），所以a＋b－4＝0，得b＝4－a.

原点O到直线l的距离d＝.

因为a2＋b2＝a2＋（4－a）2＝2（a－2）2＋8，所以当a＝2时，a2＋b2取得最小值8.

故d的最大值为＝.

（2）由题意知圆B与圆A的相交弦为圆A的一条直径，它经过圆心A.

设圆B的圆心为B（a,2a），半径为R.如图所示，在圆B中，

由垂径定理并结合图形可得：R2＝22＋|AB|2＝4＋（a－1）2＋（2a－1）2＝5（a－）2＋.

所以当a＝时，R2取得最小值.

故符合条件且半径最小的圆B的方程为（x－）2＋（y－）2＝.

考点：1.圆的标准方程；2.二次函数的最值；3.垂径定理.