Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC，D、E分别为AA₁、B₁C的中点。

（I）证明：DE∥底面ABC；
（II）设二面角A-BC-D为60°，求BD与平面BCC₁B₁所成的角的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）证明：设BC的中点为F，连结AF、EF，则EF∥CC₁，且EF=CC₁，
 又AD∥CC₁，且AD=CC₁，  
∴EF∥AD，且EF=AD，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴DE∥AF，
又∵DE平面ABC，AF平面ABC，
∴DE∥底面ABC。
（Ⅱ）解：连结DF，
∵AB=AC，F为BC的中点，
∴AF⊥BC，
又∵AA₁⊥底面ABC，
∴AA₁⊥BC，
 又∵AA₁∩AF=A，
∴BC⊥平面ADF，∴BC⊥DF，
∴∠AFD就是A-BC-D的平面角，即∠AFD=60°，
∵BB₁⊥底面ABC，
∴BB₁⊥AF，
 又∵AF⊥BC，BC∩BB₁= B，
∴AF⊥平面BCE，
∵DE∥AF，
∴DE⊥平面BCE，
∴∠DBE就是BD与平面BCC₁B₁所成的角，
设AF=a，则DE=a，AD=，AB=，∴BD=，
∴sin∠DBE==。