Question

11．在平面几何中，对于Rt△ABC，设BC=a，CA=b，AB=c，C=90°，则（1）a²+b²=c²；（2）cos²A+cos²B=1；（3）Rt△ABC的外接圆的半径r=$\frac{1}{2}$$\sqrt{a^2+b^2}$；（4）S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab，把上面的结论类比到空间，写出相类似的结论．

Answer 1

分析 本题考查的知识点是类比推理，由在Rt△ABC，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若∠C为直角，则有Rt△ABC的外接圆的半径r=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{2}$，我们根据平面性质可以类比推断出空间性质，我们易得答案．

解答 解：由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质，
一般的思路是：点到线，线到面，或是二维到三维
由题目中Rt△ABC中若∠C为直角，则有Rt△ABC的外接圆的半径r=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{2}$中的结论是二维的边与边的关系，
类比后的结论应该为三维的边与边的关系，
故可猜想：在三棱锥P-ABC中，a、b、c分别是底面上角A、B、C的对边，
若∠APC，∠APB，∠BPC均为直角，
则三棱锥P-ABC外接球的半径R=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}}{2}$．

点评 本题考查的知识点是类比推理，在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质，或是将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质．