Question

16．已知$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{OB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，求证：$\overrightarrow{OC}$⊥$\overrightarrow{AB}$．

Answer 1

分析 根据平面向量的数量积判断垂直的条件，结合平面向量的线性运算法则，即可得出所证的结论．

解答 证明：∵$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{BC}$=0，
即$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$）=0，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$①；
同理$\overrightarrow{OB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，
得$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
即$\overrightarrow{OB}$•（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）=0，
∴$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OA}$②；
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$，
即$\overrightarrow{OC}$•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）=0，
∴$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
即$\overrightarrow{OC}$⊥$\overrightarrow{AB}$．

点评 本题考查了平面向量垂直的判断与应用问题，也考查了平面向量的线性运算问题，是基础题目．