Question

1．已知函数g（x）=x³+ax²-4x在区间（-1，1）内是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出导函数，根据题意问题等价为g'（x）≤0在x∈（-1，1）上恒成立，再根据二次函数的性质转化为：$\left\{\begin{array}{l}{g'（-1）≤0}\\{g'（1）≤0}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：对函数g（x）求导得，g'（x）=3x²+2ax-4，
∵函数g（x）=x³+ax²-4x在区间（-1，1）内是减函数，
∴g'（x）≤0在x∈（-1，1）上恒成立，
结合二次函数的图象和性质，
问题等价为：$\left\{\begin{array}{l}{g'（-1）≤0}\\{g'（1）≤0}\end{array}\right.$，
解得，-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$，
即实数a的取值范围为：[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题主要考查了运用导数研究函数的单调性和单调区间，涉及导数的符号与函数单调性之间的关系以及二次函数的图象和性质，属于中档题．