Question

13．若实数x＞-1，y＞0．且满足x+2y=1，求$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{y}$的最小值．

Answer 1

分析 原式可以写成：$\frac{1}{2}$[（x+1）+2y]•（$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{y}$），展开后再用基本不等式求最值即口．

解答 解：∵x+2y=1，∴x+1+2y=2，
由于x＞-1，y＞0，所以x+1＞0，2y＞0，
原式=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{y}$=1•（$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{y}$）
=$\frac{1}{2}$[（x+1）+2y]•（$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{y}$）
=$\frac{1}{2}$（1+2+$\frac{2y}{x+1}$+$\frac{x+1}{y}$）
≥$\frac{1}{2}$（3+2$\sqrt{\frac{2y}{x+1}•\frac{x+1}{y}}$）
=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当：x+1=$\sqrt{2}$y时，取“=”
即原式的最小值为：$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查运用基本不等式求最值，以及取等条件的分析和确定，并运用了贴“1”法，体现了整体思想，属于中档题．