Question

12．设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），f（xy）=f（x）+f（y），若f（8）=3，则$f（\sqrt{2}）$等于（　　）

• A． $-\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 先根据f（8）=f（2×4）=f（2）+f（4）=f（2）+f（2）+f（2）=3f（2），求得f（2），再根据f（$\sqrt{2}$）=$\frac{1}{2}$f（2），求得f（$\sqrt{2}$）．

解答 解：因为f（x）满足，f（xy）=f（x）+f（y），
所以，f（8）=f（2×4）=f（2）+f（4）=f（2）+f（2）+f（2），
即f（8）=3f（2）=3，
所以，f（2）=1，
而f（2）=f（$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$）=f（$\sqrt{2}$）+f（$\sqrt{2}$）=2f（$\sqrt{2}$）
因此，f（$\sqrt{2}$）=$\frac{1}{2}$f（2）=$\frac{1}{2}$，
故答案为：C．

点评 本题主要考查了抽象函数及其应用，涉及抽象函数值的确定，关键是要灵活运用条件f（xy）=f（x）+f（y），属于中档题．