Question

15．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S，4$\sqrt{3}S$=（$\sqrt{3}$-1）（a²+b²）+c²．
（1）求角C的取值范围；
（2）若c=1，求△ABC周长y的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据余弦定理和三角形的面积公式，以及三角函数的和差公式，求出C的取值范围；
（2）根据余弦定理和基本不等式得到，（a+b）²≤$\frac{4}{3-cosC}$，继而求出a+b的最小值，问题得以解决．

解答 解：（1）∵4$\sqrt{3}S$=（$\sqrt{3}$-1）（a²+b²）+c²，
∴4$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$absinC=（$\sqrt{3}$-1）（a²+b²）+a²+b²-2abcosC，
∴2$\sqrt{3}$sinC+2abcosC=$\sqrt{3}$（a²+b²），
∴4ab（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC+$\frac{1}{2}$cosC）=$\sqrt{3}$（a²+b²），
∴sin（C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}（{a}^{2}+{b}^{2}）}{4ab}$≥$\frac{\sqrt{3}•2ab}{4ab}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$≤C+$\frac{π}{6}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$≤C≤$\frac{π}{2}$；
（2）∵c²=a²+b²-2abcosC，
∴（a+b）²-2ab-2abcosC=1，
∴（a+b）²=2ab（1+cosC）+1，
∴（a+b）²≤$（\frac{a+b}{2}）^{2}$（1+cosC）+1，
∴（a+b）²≤$\frac{4}{3-cosC}$
由（1）知$\frac{π}{6}$≤C≤$\frac{π}{2}$，
∴0≤cosC≤$\frac{1}{2}$，
当cosC=0，（a+b）²=$\frac{4}{3}$，
∴a+b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴△ABC周长y的最小值1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了余弦定理和差公式，正弦定理，以及基本不等式，培养了转化化思想，运算能力，属于中档题．