Question

14．函数f（x）=$\frac{1}{2}$x-cosx在区间[0，2π]上的值域为$[-1，\frac{7π}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}]$．

Answer 1

分析 f′（x）=$\frac{1}{2}$+sinx，x∈[0，2π]．利用导数研究函数f（x）的单调性即可得出．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{2}$+sinx，x∈[0，2π]．
令f′（x）=$\frac{1}{2}$+sinx=0，解得x=$\frac{7π}{6}$，$\frac{11π}{6}$．
令f′（x）＞0，解得$0≤x＜\frac{7π}{6}$，或$\frac{11π}{6}$＜x≤2π，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得$\frac{7π}{6}$＜x＜$\frac{11π}{6}$，此时函数f（x）单调递减．
∵f（0）=-1，$f（\frac{7π}{6}）$=$\frac{7π}{12}$-$cos\frac{7π}{6}$=$\frac{7π}{12}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$f（\frac{11π}{6}）$=$\frac{11π}{12}$-$cos\frac{11π}{6}$=$\frac{11π}{12}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（2π）=π-1．
∴函数f（x）在区间[0，2π]上的值域为$[-1，\frac{7π}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}]$．
故答案为：$[-1，\frac{7π}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}]$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、三角函数的求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．