Question

19．某景区欲建造两条圆形观景步道M₁、M₂（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M₁与AB、AD分别相切于点B、D，圆M₂与AC、AD分别相切于点C、D；
（1）若∠BAD=60°，求圆M₁、M₂的半径（结果精确到0.1米）
（2）若观景步道M₁与M₂的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M₁、M₂的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）

Answer 1

分析 （1）直接利用三角函数，可得结论；
（2）设∠BAD=2α，则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°-α），换元，利用基本不等式，可得结论．

解答 解：（1）M₁半径=60tan30°≈34.6，M₂半径=60tan15°≈16.1；
（2）设∠BAD=2α，则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°-α），
设1+tanα=x，则y=12π•（8x+$\frac{18}{x}$-17）≥84π，当且仅当x=$\frac{3}{2}$，tanα=$\frac{1}{2}$时，取等号，
∴M₁半径30，M₂半径20，造价263.8千元．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，属于中档题．