Question

10．设实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤4}\\{x-y≤2}\\{x-1≥0}\end{array}\right.$，则目标函数$z=\frac{y}{x+1}$的取值范围是（　　）

• A． $（-∞，-\frac{1}{2}]∪[{0，\frac{3}{2}}]$
• B． $[{\frac{1}{4}，\frac{3}{2}}]$
• C． $[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{4}}]$
• D． $[{-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}]$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，再由目标函数$z=\frac{y}{x+1}$的几何意义，即可行域内的点与定点（-1，0）连线的斜率求解．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤4}\\{x-y≤2}\\{x-1≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-y=2}\end{array}\right.$，得A（1，-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，得B（1，3）．
由$z=\frac{y}{x+1}$=$\frac{y-0}{x-（-1）}$，而${k}_{PA}=-\frac{1}{2}，{k}_{PB}=\frac{3}{2}$．
∴目标函数$z=\frac{y}{x+1}$的取值范围是[$-\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．
故选：D．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．