Question

20．已知S_n为等比数列{a_n}的前n项和，且S_n=3ⁿ+r．
（1）求r的值，并求数列的通项公式a_n；
（2）若b_n=$\frac{{a}_{n}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$，求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S ₁=3+r，可求a₁，同理a₂，a₃，利用等比中项，求解r，然后求解通项公式，
（2）求出b_n的表达式，利用裂项相消法求解数列的和即可．

解答 解：（1）∵a₁=S ₁=3+r，a₁+a₂=S ₂=9+r，可得：
a₂=6，a₁+a₂+a₃=S₃=27+r，可得a₃=18，
可得18（3+r）=36，解得r=-1；
公比q=3，a₁=2，
∴a_n=2×3^n-1．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{2×{3}^{n-1}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$）；
数列{b_n}前n项和T_n=$\frac{1}{3}[\frac{1}{2}-\frac{1}{{3}^{2}-1}+\frac{1}{{3}^{2}-1}-\frac{1}{{3}^{3}-1}+…+\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}]$
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$）．

点评 本题考查等比数列的性质，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力．