Question

11．若函数f（x）=ax-$\frac{b}{x}$+c（a，b，c∈R）的图象经过点（1，0），且在x=2处的切线方程是y=-x+3．
（Ⅰ）确定f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a，b，c的方程组，解出即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=a+$\frac{b}{{x}^{2}}$，
将x=2代入y=-x+3中，得y=-2+3=1，
由题意知$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=0}\\{f（2）=1}\\{f′（2）=-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{2a-\frac{b}{2}+c=1}\\{a+\frac{b}{4}=-1}\end{array}\right.$，解得：a=-3，b=8，c=11，
因此f（x）=-3x-$\frac{8}{x}$+11，x≠0                           
（Ⅱ） 由f′（x）=-3+$\frac{8}{{x}^{2}}$=0得，x=±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
当x∈（-∞，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）∪（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，+∞）时，f′（x）＜0；
当x∈（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，0）∪（0，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）时，f′（x）＞0，
所以f（x）的极小值是f（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）=11+4$\sqrt{6}$，f（x）的极大值是f（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）=11-4$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．