Question

12．已知集合A={x∈R|ax²+2x+1=0}，其中a∈R．
（1）若$\frac{1}{2}$∈A，用列举法表示A；
（2）若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B．

Answer 1

分析 （1）把x=$\frac{1}{2}$代入方程ax²+2x+1=0求得a的值；然后再来解该一元二次方程；
（2）由已知中集合A={x∈R|ax²+2x+1=0}，只有一个元素，根据集合元素的确定性，我们可以将问题转化为：关于x的方程ax²+2x+1=0有且只有一个解，分类讨论二次项系数a的值，结合二次方程根与△的关系，即可得到答案．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{2}$∈A，∴$\frac{1}{2}$是方程ax²+2x+1=0的根，
∴$a{（{\frac{1}{2}}）^2}+2×\frac{1}{2}+1=0$，解得a=-8．∴方程为-8x²+2x+1=0．
∴x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=-$\frac{1}{4}$，此时A=$\left\{{-\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}\right\}$．
（2）若a=0，则方程为2x+1=0，x=-$\frac{1}{2}$，A中仅有一个元素；
若a≠0，A中仅有一个元素，则△=4-4a=0，即a=1，方程有两个相等的实根
x₁=x₂=-1．
故所求集合B={0，1}．

点评 本题考查的知识点是集合元素的确定性及方程根的个数的判断及确定，其中根据元素的确定性，将问题转化为：关于x的方程ax²+2x+1=0有且只有一个解，是解答本题的关键．