Question

定义[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x-[x]，其中对于0≤x≤316时，函数f（x）=sin²[x]+sin²{x}-1和函数g（x）=[x]•{x}-

x

3

-1的零点个数分别为m，n，则（　　）

A．m=101，n=313

B．m=101，n=314

C．m=100，n=313

D．m=100，n=314

Answer 1

分析：根据定义分别求出f（x）=0和g（x）=0，将函数方程转化为sin²[x]+sin²{x}-1=0和[x]•{x}=

x

3

+1，分别利用图象讨论两个函数零点的个数．

解答：解：由f（x）=sin²[x]+sin²{x}-1=0得sin²{x}=1-sin²[x]=cos²[x]．
则{x}=

π

2

+2kπ+[x]或{x}=-

π

2

+2kπ+[x]，
即{x}-[x]=

π

2

+2kπ或{x}-[x]=-

π

2

+2kπ．
即x=

π

2

+2kπ或x=-

π

2

+2kπ．
若x=

π

2

+2kπ，∵0≤x≤316，
∴当k=0时，x=

π

2

，由x=

π

2

+2kπ≤316，解得k≤50.3，即k≤50，此时有51个零点，
若x=-

π

2

+2kπ，∵0≤x≤316，
∴当k=0时，x=-

π

2

不成立，由x=-

π

2

+2kπ≤316，解得k≤50.6，即k≤50，此时有50个零点，
综上f（x）=sin²[x]+sin²{x}-1的零点个数为50+51=101个．
∵{x}=

x，0≤x＜1 x-1，1≤x＜2 x-2.2≤x＜3 … x-315，315≤x＜316 x-316，x=316

，
∴[x]{x}=

0，0≤x＜1 x-1，1≤x＜1 2(x-2)，2≤x＜3 … 315(x-315)，315≤x＜316 316(x-316)，x=316

由g（x）=0得[x]•{x}=

x

3

+1，分别作出函数h（x）=[x]{x}和y=

x

3

+1的图象如图：
由图象可知当0≤x＜1和1≤x＜2时，函数h（x）=[x]{x}和y=

x

3

+1没有交点，
但2≤x＜3时，函数h（x）=[x]{x}和y=

x

3

+1在每一个区间上只有一个交点，
∵0≤x＜316，
∴g（x）=[x]•{x}-

x

3

-1的零点个数为316-2-1=303个．
故m=101，n=303．
故选：A．

点评：本题主要考查函数的新定义题，利用定义作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．