Question

19．设点F是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右焦点，点F到渐近线的距离与双曲线的焦距之比为1：4，则双曲线的渐近线方程为（　　）

• A． $\sqrt{3}x±y=0$
• B． $x±\sqrt{3}y=0$
• C． $\sqrt{15}x±y=0$
• D． $x±\sqrt{15}y=0$

Answer 1

分析 求出点F到渐近线的距离，根据条件建立比例关系，求出a，b的关系即可得到结论．

解答 解：双曲线的右焦点F（c，0），到渐近线y=$\frac{b}{a}$x，即bx-ay=0的距离d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{bc}{c}$=b，
∵点F到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为1：4，
∴$\frac{b}{2c}$=$\frac{1}{4}$，即c=2b，
则c²=a²+b²=4b²，
即a²=3b²，
则a=$\sqrt{3}$b，
则双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，即x±$\sqrt{3}$y=0，
故选：B．

点评 本题主要考查双曲线的性质，根据距离关系求出a，b的关系是解决本题的关键．