【题目】如图，把两个全等的
和
分别置于平面直角坐标系中，使直角边
在
轴上，已知点
，过
两点的直线分别交
轴、
轴于点
. 抛物线
经过
三点.
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点
为线段
上的一个动点，过点
作
轴的平行线交抛物线于点
，交
轴于点
，问是否存在这样的点，使得四边形
为等腰梯形？若存在，求出此时点
的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若
沿
方向平移（点
始终在线段
上，且不与点
重合），
在平移的过程中与
重叠部分的面积记为
，试探究
是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
．
【解析】
试题分析：（1）由抛物线经过点
即可根据待定系数法求得抛物线解析式；（2）首先分别作过点
分别作梯形
的高，将问题转化为
，然后设出点
的坐标，由此通过建立方程求得点
的坐标；（3）作
于
，设点
移动的水平距离为
，由此得到线段
的长度，从而通过解直角三角形得到
关于
的函数关系式，进而根据二次函数的性质即可求得结果．
试题解析：（1）将
分别代入
，
得
，解得：
，所以.
（2）如图1，过点分别作梯形的高
，如果梯形是等腰梯形，那么
因此，，
直线
的解析式为
，设点
的坐标为
，那么
.
解方程
，得
，
的几何意义是
与
重合，此时梯形不存在，所以.
（3）如图2，
与
重叠部分的形状是四边形
，作于，
设点移动的水平距离为，那么
，
，
在
中，
，所以
.
在
中，
，所以
，
所以
，
在
中，
；
在
中，
；
所以
.
因此
，所以
，
所以
.
于是
，
因为
，所以当
时，
取得最大值，最大值为.
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【题目】“光明天使”基金收到甲乙丙三兄弟24万、25万、26万三笔捐款（一人捐一笔款），记者采访这三兄弟时，甲说：“乙捐的不是最少.”乙说：“甲捐的比丙多.”丙说：“若我捐的最少，则甲捐的不是最多.”根据这三兄弟的回答，确定乙捐了_________万.
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【题目】在对两个变量x,y进行线性回归分析时有下列步骤:
①对所求出的回归方程作出解释.
②收集数据.
③求线性回归方程.
④求相关系数.
⑤根据所搜集的数据绘制散点图.
如果根据可靠性要求能够作出变量x,y具有线性相关的结论,则在下列操作顺序中正确的是( )
A. ①②⑤③④ B. ③②④⑤①
C. ②④③①⑤ D. ②⑤④③①
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【题目】某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨）之间的函数关系式可以近视地表示为
,已知此生产线的年产量最大为210吨.
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润?最大利润是多少?
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【题目】一房产商竞标得一块扇形
地皮，其圆心角
，半径为
，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形
的一边
在半径
上，
在圆弧上，
在半径
；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点
分别在两条半径上。请你通过计算，为房产商提供决策建议。
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【题目】观察以下5个等式：
-1=-1
-1+3=2
-1+3-5=-3
-1+3-5+7=4
-1+3-5+7-9=-5
……
根据以上式子规律：
（1）写出第6个等式，并猜想第n个等式；（n∈N*）
（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立．（n∈N*）
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【题目】
已知函数
，
。
（1）若函数
在
处的切线与函数
在
处的切线互相平行，求实数
的值；
（2）设函数
。
（ⅰ）当实数
时，试判断函数
在
上的单调性；
（ⅱ）如果
是
的两个零点，
为函数的导函数，证明：
。
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【题目】某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品, 其生产的总成本
（万元）与年产量
（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为
,已知此生产线年产量最大为
吨.
（1）求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本；
（2）若毎吨产品平均出厂价为
万元,那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
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【题目】（重点班）我们知道对数函数
，对任意
，都有
成立，若
，则当
时，
．参照对数函数的性质，研究下题：定义在
上的函数
对任意
，都有，并且当且仅当时，成立．
（1）设，求证：
；
（2）设
，若
，比较
与
的大小．
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