Question

【题目】

已知函数，。

（1）若函数在处的切线与函数在处的切线互相平行，求实数的值；

（2）设函数。

（ⅰ）当实数时，试判断函数在上的单调性；

（ⅱ）如果是的两个零点，为函数的导函数，证明：。

Answer 1

【答案】(1);(2)(i)函数在上单调递减.(ii)见解析。

【解析】

试题分析：（1）分别求函数的导数得，，由求出即可；（2）（i）由 及可得在上恒成立，所以在上单调递减；（ii）由是的两个零点，可得，，从而有，即，所以，构造函数，讨论其单调性可得，又，从而证得结论成立。

试题解析：（1）由，得，在处切线互相平行时，切线斜率相等，于是，。

（2）（1）

易知在上单调递减，

∴当时，

当时，在上恒成立。

∴当时，函数在上单调递减。

（2）因为是的两个零点，故①

②，由②-①得：

解得

因为，

将代入得

设，构造，，

∵，，∴，

∴在单调增且，∴，又

∴。