Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令求数列{b_n}的前n项和T_n
（3）令证明：2n＜c₁+c₂+…．

Answer 1

解：（1）n≥2时，=n+1
n=1时，a₁=S₁=2，也满足上式
∴a_n=n+1（n∈N^*）．
（2）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=①
②
①-②得
∴
∴
（3）∵==
∴2n＜c₁+c₂+…+c_n，
∵==
∴c₁+c₂+…+c_n=
∴2n＜c₁+c₂+…．
分析：（1）根据数列{a_n}的前n项和S_n满足（n∈N^*），利用n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，结合n=1时，a₁=S₁=2，可求数列的通项公式a_n；
（2）根据数列{b_n}通项的特点，利用错位相减法，可求数列{b_n}的前n项和T_n
（3）根据==，可证不等式的左边；根据==，可证不等式的右边．
点评：本题考查的重点是数列与不等式的综合，解题的关键是根据数列{a_n}的前n项和S_n满足（n∈N^*），利用n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，利用错位相减法求数列的和，注意不等式证明中的适当放缩．