Question

【题目】已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a≠0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）+（a+1）x+4﹣e≤0对任意x∈[e，e2]恒成立，求实数a的取值范围（e为自然常数）．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ﹣a= = （x＞0），

当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，单调减区间为[1，+∞）；

当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），单调减区间为（0，1]

（2）解：令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，则F′（x）= ，

若﹣a≤e，即a≥﹣e，

F（x）在[e，e2]上是增函数，

F（x）max=F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，

a≤ （e﹣1﹣e2），无解．

若e＜﹣a≤e2，即﹣e2≤a＜﹣e，

F（x）在[e，﹣a]上是减函数；在[﹣a，e2]上是增函数，

F（e）=a+1≤0，即a≤﹣1．

F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，即a≤ （e﹣1﹣e2），

∴﹣e2≤a≤ （e﹣1﹣e2）．

若﹣a＞e2，即a＜﹣e2，

F（x）在[e，e2]上是减函数，

F（x）max=F（e）=a+1≤0，即a≤﹣1，

∴a＜﹣e2，

综上所述，a≤ （e﹣1﹣e2）

【解析】（1）先求导，再分类讨论即可得到函数的单调性；（2）令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，从而求导F′（x）= ，再由导数的正负讨论确定函数的单调性，从而求函数的最大值，从而化恒成立问题为最值问题即可．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．