Question

8．定义在R上的奇函数y=f（x）在（0，+∞）上递增且f（$\frac{1}{2}$）=0，则满足f（log${\;}_{\frac{1}{9}}$x）＞0的x的集合为（0，$\frac{1}{3}$）∪（1，3）．

Answer 1

分析 根据f（x）为定义在R上的奇函数便得，f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递增，再由$f（\frac{1}{2}）=0$，从而可得f（x）＞0的解集为（-$\frac{1}{2}$，0）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．

解答 解：f（x）是定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）上递增；
∴f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递增，
再由$f（\frac{1}{2}）=0$，从而可得f（x）＞0的解集为（-$\frac{1}{2}$，0）∪（$\frac{1}{2}$，+∞），
∴由$f（lo{g}_{\frac{1}{9}}x）＞0$得：${log}_{\frac{1}{9}}x$∈（-$\frac{1}{2}$，0）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）；
∴x∈（0，$\frac{1}{3}$）∪（1，3），
∴原不等式的解集为（0，$\frac{1}{3}$）∪（1，3）．
故答案为：（0，$\frac{1}{3}$）∪（1，3）．

点评 考查奇函数的定义，奇函数的单调性特点，增函数的定义，以及指数式和对数式的运算，指数函数和对数函数的单调性，对数中的真数大于0．