Question

18．已知函数f（x）=ax+lnx，x∈[1，+∞）
（1）若f′（x₀）=$\frac{f（e）-f（1）}{e-1}$，求x₀的值；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，化简整理，即可解得所求值；
（2）由题意可得f′（x）=a+$\frac{1}{x}$≤0在[1，+∞）上恒成立，即有a≤-$\frac{1}{x}$的最小值，由单调性即可求得a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=ax+lnx的导数为
f′（x）=a+$\frac{1}{x}$，
即有f′（x₀）=a+$\frac{1}{{x}_{0}}$=
$\frac{f（e）-f（1）}{e-1}$=$\frac{ae+1-（a+0）}{e-1}$=a+$\frac{1}{e-1}$，
解得x₀=e-1；
（2）由函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，可得
f′（x）=a+$\frac{1}{x}$≤0在[1，+∞）上恒成立，
即有a≤-$\frac{1}{x}$的最小值，由x≥1，可得-$\frac{1}{x}$≥-1．
则有a≤-1．
即有a的取值范围是（-∞，-1]．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间，考查不等式恒成立问题的解法，注意转化为求函数的最值，属于中档题．