Question

20．已知a＞0，函数f（x）=lnx-ax
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l与曲线C：ρ=-2cosθ相切，求a的值；
（Ⅱ） 求f（x）的在（0，1]上的最大值．（本题极点在坐标原点，极轴为X轴）

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线C：ρ=-2cosθ化为直角坐标方程，求出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l与曲线C：ρ=-2cosθ相切，建立方程，即可求a的值；
（Ⅱ）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求f（x）的在（0，1]上的最大值．

解答 解：（Ⅰ）曲线C：（x-1）²+y²=1，
$f'（x）=\frac{1}{x}-a∴f'（1）=1-a，f（1）=-a$
所以切线为（1-a）x-y-1=0
因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l与曲线C：ρ=-2cosθ相切，
所以$\frac{|a|}{{\sqrt{{{（1-a）}^2}+1}}}=1⇒a=1$；
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}（x＞0）$
①当$\frac{1}{a}≥1$，即0＜a≤1时，f'（x）＜0在（0，1）恒成立，f（x）_max=f（1）=-a
②当$\frac{1}{a}＜1$，即a＞1时，f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$增，在$（\frac{1}{a}，1）$减，$f{（x）_{max}}=f（\frac{1}{a}）=-lna-1$

点评 本题考查导数知识的综合运用，考察直线与圆的位置关系，考查函数的单调性与最大值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．