Question

11．已知数列{a_n}中，S_n=2ⁿ-1，则a${\;}_{1}^{2}$+a${\;}_{2}^{2}$+…+a${\;}_{n}^{2}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．

Answer 1

分析 利用a_n=S_n-S_n-1计算可知数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1，进而可知数列{a_n²}是以1为首项、4为公比的等比数列，计算即得结论．

解答 解：∵S_n=2ⁿ-1，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）
=2^n-1，
又∵a₁=2-1=1满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1，
∴${{a}_{n}}^{2}$=4^n-1，即数列{a_n²}是以1为首项、4为公比的等比数列，
∴所求值为$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$，
故答案为：$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．