Question

设圆C满足：（1）截轴所得弦长为2；（2）被轴分成两段圆弧，其弧长的比为5∶1．
在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线：3－4=0的距离最小的圆的方程．

Answer 1

圆的方程为
（x－）²＋（y－）²＝4或（x＋）²＋（y＋²＝4

解：设所求圆的圆心为P（，），半径为，则P到轴、轴的距离分别为||、||．
由题设圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为60°……2分，圆P截轴所得弦长为，故  3²＝4²，
又圆P截轴所得弦长为2，所以有r²＝²＋1，…………5分
从而有4²－3²＝3
又点P（，）到直线3－4=0距离为＝，…………7分
所以25²＝|3－4|²
＝9²＋16²－24≥9²＋16²－12（²＋²）………10分
＝4b²－3²＝3
当且仅当=时上式等号成立，此时25²＝3，从而取得最小值，
由此有 ，解方程得或 ………12分
由于3²＝4²，知＝2，于是所求圆的方程为
（x－）²＋（y－）²＝4或（x＋）²＋（y＋²＝4………．13分