Question

【题目】已知函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．
（1）若对于x∈R，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当m=0时，f（x）=﹣1＜0恒成立，

当m≠0时，若f（x）＜0恒成立，

则

解得﹣4＜m＜0

综上所述m的取值范围为（﹣4，0]

（2）解：要x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，

即m（x﹣ ）2+ m﹣6＜0，x∈[1，3]恒成立．

令g（x）=m（x﹣ ）2+ m﹣6，x∈[1，3]

当m＞0时，g（x）是增函数，

所以g（x）max=g（3）=7m﹣6＜0，

解得m＜ ．

所以0＜m＜ 当m=0时，﹣6＜0恒成立．

当m＜0时，g（x）是减函数．

所以g（x）max=g（1）=m﹣6＜0，

解得m＜6．

所以m＜0．

综上所述，m＜

【解析】（1）若f（x）＜0恒成立，则m=0或 ，分别求出m的范围后，综合讨论结果，可得答案．（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，则m（x﹣ ）2+ m﹣6＜0，x∈[1，3]恒成立，结合二次函数的图象和性质分类讨论，综合讨论结果，可得答案．
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．