Question

【题目】已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．
（1）求圆C1的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；
（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，

整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，

∴圆C1的圆心坐标为（3，0）

（2）解：设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），

联立方程组 ，

消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，

由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜

由韦达定理，可得x1+x2= ，

∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为 ，其中﹣ ＜k＜ ，

∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣ ）2+y2= ，其中 ＜x≤3

（3）解：结论：当k∈（﹣ ， ）∪{﹣ ， }时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．

理由如下：

联立方程组 ，

消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，

令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）16k2=0，解得k=± ，

又∵轨迹C的端点（ ，± ）与点（4，0）决定的直线斜率为± ，

∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，

k的取值范围为（﹣ ， ）∪{﹣ ， }

【解析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．