Question

15．如图，已知圆的方程为x²+y²=$\frac{1}{2}$，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，过原点的射线交圆于A，交椭圆于B，过A、B分别作x轴和y轴的平行线，求所作二直线交点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 将直线方程代入圆和椭圆的方程，求得交点，由代入法消去k，即可得到所求轨迹方程．

解答 解：设OB：y=kx，代入圆的方程，可得A（±$\frac{1}{\sqrt{2（1+{k}^{2}）}}$，±$\frac{k}{\sqrt{2（1+{k}^{2}）}}$），
联立y=kx和椭圆方程，可得B（±$\frac{20}{\sqrt{16+25{k}^{2}}}$，±$\frac{20k}{\sqrt{16+25{k}^{2}}}$），
设P的坐标为（x，y），
由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{x=±\frac{20}{\sqrt{16+25{k}^{2}}}}\\{y=±\frac{k}{\sqrt{2（1+{k}^{2}）}}}\end{array}\right.$．
消去k，可得8x²+400y²+9x²y²=200，
故所作二直线交点P的轨迹方程为8x²+400y²+9x²y²=200．

点评 本题考查直线和圆、直线和椭圆方程的联立，求交点，考查化简整理的能力，属于中档题．