Question

10．已知$\overrightarrow{m}$=（sinA，$\frac{1}{2}$）与$\overrightarrow{n}$=（3，sinA+$\sqrt{3}$cosA）共线，其中A为△ABC的内角．
（1）求角A；
（2）若a=$\sqrt{3}$，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求边长b和角B的大小．

Answer 1

分析 （1）根据向量平行得出角2A的等式，然后根据两角和差的正弦公式和A为三角形内角这个条件得到A．
（2）由（1）及余弦定理可得：3=b²+c²-bc，①又由三角形面积公式可得bc=2，②，利用①②可解得b，由正弦定理可得sinB，结合B的范围即可得解．

解答 解：（1）因为 $\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，所以sinA•（sinA+$\sqrt{3}$cosA）-$\frac{3}{2}$=0；
所以 $\frac{1-cos2A}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A=0，
整理得 $\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A-$\frac{1}{2}$cos2A=1，
即sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1．
因为A∈（0，π），所以2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$）．
故2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{π}{3}$．
（2）因为a=$\sqrt{3}$，由（1）及余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：3=b²+c²-bc，①
又因为S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=bc×$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得bc=2，②，
利用①②可解得：b=1或2．
由正弦定理可得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{1}{2}$，或1，
因为：0＜B＜π，
故可解得：B=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$（舍去），或$\frac{π}{2}$．

点评 本题是中档题，考查向量的平行关系的应用，三角函数的二倍角公式、两角差正弦函数的应用，考查解三角形的面积，正弦定理，余弦定理等知识，考查计算能力．