Question

偶函数f（x）在（-∞，+∞）内可导，且f′（-1）=-2，f（x+2）=f（x-2），则曲线y=f（x）在点（-3，f（-3））处切线的斜率为（　　）

• A、2
• B、-2
• C、1
• D、-1

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：由f（x）在（-∞，+∞）内可导，对f（x+2）=f（x-2）两边求导，求出f′（x+2）=f′（x-2）；
由f（-x）=f（x），对此两边求导，得出-f′（-x）=f′（x）；由此得出f′（x+4）=f′（x）；求出x=-3时的导数即可．

解答： 解：∵f（x）在（-∞，+∞）内可导，
∴对f（x+2）=f（x-2）两边求导，得：
f′（x+2）•（x+2）′=f′（x-2）•（x-2）′，
即f′（x+2）=f′（x-2）；
又∵f（-x）=f（x），
∴f′（-x）*（-x）′=f′（x），
即-f′（-x）=f′（x）；
∴f′（x+2+2）=f′（x+2-2），
即f′（x+4）=f′（x）；
∴f′（-3）=f′（-3+4）=f′（1）=-f′（-1）=2；
∴曲线y=f（x）的点（-3，f（-3））处切线的斜率是2．
故选：A．

点评：本题考查了偶函数的对称性与复合函数求导数的问题，解题时应灵活应用导数求曲线的切线斜率，是较难的题目．