【题目】如图,三棱柱ABC﹣DEF中,侧面ABED是边长为2的菱形,且∠ABE= ,BC= ,四棱锥F﹣ABED的体积为2,点F在平面ABED内的正投影为G,且G在AE上,点M是在线段CF上,且CM= CF.
(Ⅰ)证明:直线GM∥平面DEF;
(Ⅱ)求二面角M﹣AB﹣F的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明:∵四棱锥锥F﹣ABED的体积为2, 即VF﹣ABCD= ,∴FG= .
又BC=EF= ,∴EG= ,即点G是靠近点A的四等分点.
过点G作GK∥AD交DE于点K,∴GK= .
又MF= ,∴MF=GK且MF∥GK.
四边形MFKG为平行四边形,
∴GM∥FK,
∴直线GM∥平面DEF;
(Ⅱ)设AE、BD的交点为O,OB所在直线为x轴,OE所在直线为y轴,
过点O作平面ABED的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示:
A(0,﹣1,0),B( ,0,0),F(0,﹣ , ),M( ).
, , .
设平面ABM,ABF的法向量分别为 , .
由 ,则 ,取y=﹣ ,得 ,
同理求得 .
∴cos< >= ,
∴二面角M﹣AB﹣F的余弦值为 .
【解析】(Ⅰ)由四棱锥锥F﹣ABED的体积为2求出FG,进一步求得EG,可得点G是靠近点A的四等分点.过点G作GK∥AD交DE于点K,可得GK= .又MF= ,得到MF=GK且MF∥GK.则四边形MFKG为平行四边形,从而得到GM∥FK,进一步得到直线GM∥平面DEF;(Ⅱ)设AE、BD的交点为O,OB所在直线为x轴,OE所在直线为y轴,点O作平面ABED的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,求出平面ABM,ABF的法向量,由两法向量所成角的余弦值得二面角M﹣AB﹣F的余弦值.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用直线与平面平行的判定的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行.
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【题目】已知随机变量X﹣N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,若向正方形OABC中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点个数的估计值为( ) 附:若随机变量ξ﹣N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<ξ≤μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544.
A.6038
B.6587
C.7028
D.7539
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【题目】已知函数f(x)的定义域为D,若对于a,b,c∈D,f(a),f(b),f(c)分别为某个三角形的边长,则称f(x)为“三角形函数”.给出下列四个函数: ①f(x)=lnx(e2≤x≤e3);②f(x)=4﹣cosx;③ ;④ .
其中为“三角形函数”的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣ax+ ,且f(x)+f( )=0,其中a,b为常数.
(1)若函数f(x)的图象在x=1的切线经过点(2,5),求函数的解析式;
(2)已知0<a<1,求证:f( )>0;
(3)当f(x)存在三个不同的零点时,求a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=e2x﹣ax2+bx﹣1,其中a,b∈R,e为自然对数的底数,若f(1)=0,f′(x)是f(x)的导函数,函数f′(x)在区间(0,1)内有两个零点,则a的取值范围是( )
A.(e2﹣3,e2+1)
B.(e2﹣3,+∞)
C.(﹣∞,2e2+2)
D.(2e2﹣6,2e2+2)
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【题目】设函数f(x)=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m.
(Ⅰ)作出函数f(x)的图象;
(Ⅱ)若a2+2c2+3b2=m,求ab+2bc的最大值.
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【题目】已知函数f(x)=x2﹣alnx(a>0)的最小值是1.
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)若关于x的方程f2(x)ex﹣6mf(x)+9me﹣x=0在区间[1,+∞)有唯一的实根,求m的取值范围.
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【题目】在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且b,c是关于x的一元二次方程x2+mx﹣a2+b2+c2=0的两根.
(1)求角A的大小;
(2)已知a= ,设B=θ,△ABC的面积为y,求y=f(θ)的最大值.
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【题目】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 = ,则这个三角形必含有( )
A.90°的内角
B.60°的内角
C.45°的内角
D.30°的内角
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