Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ax+ ，且f（x）+f（ ）=0，其中a，b为常数．
（1）若函数f（x）的图象在x=1的切线经过点（2，5），求函数的解析式；
（2）已知0＜a＜1，求证：f（ ）＞0；
（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：在 中，取x=1得f（1）=0，∴f（1）=﹣a+b=0，∴a=b，

∵ ，∴f'（1）=1﹣a﹣b=1﹣2a，

∵f（x）的图象在x=1的切线经过点（1，0），（2，5），∴k= ，

∴1﹣2a=5，得a=﹣2，

∴

（2）证明：

令 ，

则

∴x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，

∴x∈（0，1）时，

故0＜a＜1时，f（ ）＞0

（3）解： ，

①当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）递增，∴f（x）至多一个零点，不符题意；

②当 时，在（0，+∞）上，f′（x）≤0，f（x）递减，∴f（x）至多一个零点，不符题意；

③当 时，令f′（x）=0，解得 ， ，

此时，f（x）在（0，x1）上递减，在（x1，x2）上递增，在（x2，+∞）上递减，

∵x1＜1＜x2，∴f（x1）＜f（1）＜f（x2），即f（x1）＜0，f（x2）＞0，

∵ ，∴ ，使得f（x0）=0，

又∵ ，

∴f（x）恰有三个不同的零点：

综上所述，a的取值范围是

【解析】（1）利用赋值法，令x=1，得到f（1）=0，则切点为（1，0），从而可求出切线的斜率k=5，即f'（1）=5．由方程组 ，即可求出a，b的值；（2）将x= 待入f（x）的解析式，构造函数 ，通过求导可知g（x）在（0，1）上单调递减，则g（x）＞g（1）=1﹣ln2＞0，即f（ ，对参数a进行分类讨论，易知a≤0，或a≥ 时，f（x）至多一个零点，不符题意；当0＜a＜ 时，f（x）存在两个极值点x1 ， x2 ， 通过零点存在定理可知，此时f（x）存在三个零点，满足条件，故a的取值范围是 ．