Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，an≠0，2anan+1=tSn﹣2，其中t为常数． （Ⅰ）设bn=an+1+an ， 求证：{bn}为等差数列；
（Ⅱ）若t=4，求Sn ．

Answer 1

【答案】解：（I）证明：2anan+1=tSn﹣2①，2an+1an+2=tSn+1﹣2②， ②﹣①可得2an+1（an+2﹣an）=tSn+1﹣tSn=tan+1
因为an+1≠0，所以 ，
，
因为t为常数，所以数列{bn}为等差数列．
（II）若t=4，由（I）可得an+2﹣an=2
即数列{an}的奇数项和偶数项分别为公差为2的等差数列，
由a1=1，可得a2=2a1﹣1=1，
当n为奇数时，{an}的奇数项和偶数项分别为 项
所以 ，
当n为偶数时，{an}的奇数项和偶数项分别为 项
所以 ，
综上，
【解析】（Ⅰ）利用2anan+1=tSn﹣2，将条件变形，利用等比数列的定义证明是常数．（Ⅱ）利用条件，由（ I）可得an+2﹣an=2，即数列{an}的奇数项和偶数项分别为公差为2的等差数列，根据等差数列的求和公式，分类求出即可．
【考点精析】通过灵活运用等差关系的确定和数列的前n项和，掌握如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系即可以解答此题．