Question

【题目】已知函数 ，函数f（x）的图象记为曲线C．
（1）若函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，求c的取值范围；
（2）若函数y=f（x）﹣m有两个零点α，β（α≠β），且x=α为f（x）的极值点，求2α+β的值；
（3）设曲线C在动点A（x0 ， f（x0））处的切线l1与C交于另一点B，在点B处的切线为l2 ， 两切线的斜率分别为k1 ， k2 ， 是否存在实数c，使得 为定值？若存在，求出c的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解法一：（1）f'（x）=x2﹣2x+c，当x∈[0，+∞）时f'（x）=x2﹣2x+c≥0

所以（x2﹣2x+c）min≥0，而x2﹣2x+c在x=1处取得最小值，

所以1﹣2+c≥0，c≥1

解法二：（1）f'（x）=x2﹣2x+c，当x∈[0，+∞）时f'（x）=x2﹣2x+c≥0，

所以c≥﹣（x2﹣2x）对任意的x∈[0，+∞）恒成立，故c≥[﹣（x2﹣2x）]max，

即[﹣（x2﹣2x）]max=1，故c的取值范围是[1，+∞）

（2）解法一：因为x=α为f（x）的极值点，

所以 ，所以c=﹣α2+2α，

又因为y=f（x）﹣m有不同的零点α，β，所以f（α）=f（β），

即 ，

整理得： ，

所以2α+β=3

解法二：因为x=α为f（x）的极值点，且y=f（x）﹣m有两个零点α，β（α≠β），

所以f（x）﹣m=0的三个实数根分别为α，α，β，

由根与系数的关系得

（3）解法一：满足条件的实数c存在，

由f'（x）=x2﹣2x+c，知过A（x0，f（x0））点与曲线相切的直线l1为：y=f'（x0）（x﹣x0）+f（x0），

且k1= ﹣2x0+c，

将y=f'（x0）（x﹣x0）+f（x0）与y=f（x）联立即得B点得横坐标，

所以f'（x0）（x﹣x0）+f（x0）=f（x）

即：

整理得： 由已知x≠x0，所以x+2x0﹣3=0

所以x=3﹣2x0，即B点的横坐标为3﹣2x0所以过点B的曲线的切线斜率为：

= = =4k1+3﹣3c

因此当且仅当 3﹣3c=0时，k1、k1成比例，这时c=1

即存在实数c=1，使 为定值

解法二：满足条件的实数c存在，因为f'（x）=x2﹣2x+c，

所以过A（x0，f（x0））点且与曲线C相切的直线l1为：

y=f'（x0）（x﹣x0）+f（x0），其中 ．

设l1与C交于另一点B（x1，y1），则x0，x0，x1必为方程f（x）=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0）的三个实数根，

由f（x）=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0）得 ，

因为上述方程的右边不含三次项和二次项，

所以 ，所以x1=3﹣2x0，

所以 = = =4k1+3﹣3c．

因此当且仅当 3﹣3c=0时，k1、k1成比例，这时c=1，即存在实数c=1，使 为定值．

【解析】法一：（1）求出函数的导数，根据x=1是函数的最小值点，得到关于c的不等式，解出即可；（2）求出c=﹣α2+2α，根据f（α）=f（β）得： ，从而求出α和β的关系；（3）求出函数f（x）的导数，得到x+2x0﹣3=0，即B点的横坐标为3﹣2x0所以过点B的曲线的切线斜率，根据k1 ， k2的值，作商即可．法二：（1）求出函数的导数，分离参数c，根据函数的单调性求出c的范围即可；（2）根据根与关系判断即可；（3）分别求出k1 ， k2的值，作商即可．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题．