Question

（1）已知直线l与直线l₁：x-y+1=0平行，点A（2，4）与点A₁（m，-2）关于直线l对称．求直线l的方程；
（2）若直线l过点P（1，-2）且与x的正半轴及y的负半轴于A、B两点，求当|PA|•|PB|最小时l的方程．

Answer 1

考点：与直线关于点、直线对称的直线方程,函数的最值及其几何意义

专题：直线与圆

分析：（1）设直线l的方程为x-y+t=0，依题意，可得

m=4-t -2=2+t

，从而可得t=-4，直线l的方程可求得；
（2）设直线l的方程为 （y+2）=k（x-1）（k＞0），分别求得A（1+

2

k

，0），B（0，-k-2）；利用两点间的距离公式及基本不等式即可求得k的值，从而可得直线l的方程．

解答： 解：（1）设直线l的方程为x-y+t=0，
则x=y-t，y=x+t，
∵点A（2，4）与点A₁（m，-2）关于直线l对称，直线l的斜率为特殊值1，
∴

m=4-t -2=2+t

，解得t=-4，
∴直线l的方程为x-y-4=0（也可以利用AA₁的中点在直线l上，AA₁的斜率为-1，联立解决）；
（2）设直线l的方程为 （y+2）=k（x-1）（k＞0），
令y=0，则x=1+

2

k

，则A点的坐标为A（1+

2

k

，0）；
令x=0，则y=-k-2，则B点的坐标为B（0，-k-2）；又P（1，-2），
根据两点距离公式有
|PA|•|PB|=

4 k2 +(-2-0)2

•

(1-0)2+(-2+k+2)2

=

4 k2 +4

•

k2+1

=2

1+ 1 k2 +k2+1

≥2×2=4，当且仅当

1

k2

=k²，即k=1时取“=”．
此时，直线l的方程为y+2=x-1，即x-y-3=0．

点评：本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程，考查两点间的距离公式及基本不等式的应用，属于中档题．