Question

【题目】已知拋物线的焦点为是抛物线上横坐标为4且位于轴上方的点，点到抛物线准线的距离等于5.过点作垂直于轴，垂足为的中点为.

（1）求抛物线方程；

（2）过点作，垂足为，求点的坐标；

（3）以点为圆心，为半径作圆，当是轴上一动点时，讨论直线与圆的位置关系.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）答案不唯一，具体见解析.

【解析】

（1）求得抛物线的准线方程，结合抛物线的定义，得到，求得的值，即可求得抛物线方程；

（2）根据题意，求得的坐标，得出和的方程，联立方程组，即可求解；

（3）得到圆的圆心是点（0，2），半径为2，分类讨论，即可求得直线和圆的位置关系，得到答案.

（1）由题意，抛物线的准线为，

可得，解得，所以抛物线方程为.

（2）令，代入抛物线的方程，解得，

因为点在的上方，可得，所以点的坐标是（4，4），

由题意，得，

又因为，可得，又由，所以，

所以的方程为，的方程为，

解方程组，解得，即点的坐标为.

（3）由题意，得圆的圆心是点（0，2），半径为2，

当时，直线的方程为，此时，直线与圆相离；

当时，直线的方程为，即为，

圆心到直线的距离，

令，解得，

所以当时，直线与相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交.