Question

【题目】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，且直线的斜率分别为，则中有几个是定值？反过来是否成立？

Answer 1

【答案】3个均为定值，反过来不一定成立

【解析】

根据直线是否存在斜率进行分类讨论，当存在斜率时，将直线方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数的关系进行验证即可，当不存在斜率时，直接求出坐标，再进行验证；反过来时，假设三个都是定值，直线是否存在斜率进行分类讨论，当存在斜率时，将直线方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数的关系进行判断直线是否过抛物线的焦点，当不存在斜率时，直接求出坐标，再进行判断直线是否过抛物线的焦点即可；

解：设直线的方程为，即．

代入，得，则．

又．

若直线与轴垂直，由，得．

可求得，则．

故均为定值．

反过来，当时，设直线的方程为，即，代入抛物线方程，得，则

．

即直线过焦点．若直线的斜率不存在，也同样有此结论．

若，则可能为抛物线上轴上方的两点，则此直线一定不过焦点．

因此由不能得到直线过焦点．

若．

故当时，直线也过焦点，若直线的斜率不存在，也同样有此结论．

综上所述可知，分别为定值；反过来，只有时，才有直线过焦点．