Question

【题目】已知A（0，1）、B（0，2）、C（4t，2t2﹣1）（t∈R），⊙M是以AC为直径的圆，再以M为圆心、BM为半径作圆交x轴交于D、E两点．
（Ⅰ）若△CDE的面积为14，求此时⊙M的方程；
（Ⅱ）试问：是否存在一条平行于x轴的定直线与⊙M相切？若存在，求出此直线的方程；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求 的最大值，并求此时∠DBE的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意得，B（0，2）、M（2t，t2），
∴|BM|= = ；
∴以M为圆心、BM为半径的圆方程为（x﹣2t）2+（y﹣t2）2=t4+4，
∴其交x轴的弦 ，
∴ ，解得，t=±2，
∴⊙M的方程为（x±4）2+（y﹣4）2=20；
（Ⅱ）假设存在存在一条平行于x轴的定直线与⊙M相切；
∵ ，yM=t2 ，
∴存在一条平行于x轴的定直线y=﹣1与⊙M相切；
（Ⅲ）在△BDE中，设∠DBE=θ，且DE为弦，故 ，
由（Ⅰ）得，DE=4，在△BDE中，DE边上的高为2；
由三角形的面积相等得：
，
∴ ；
由余弦定理得，DE2=BD2+BE2﹣2BDBE×cosθ，
∴ ，
∴ ，
∴ = ，
故当 时， 的最大值为
【解析】（Ⅰ）由题意求出圆心M的坐标、半径BM的长度，用t圆方程求交x轴的弦长，再由△CDE的面积为14求出t．（Ⅱ）先假设存在一条平行于x轴的定直线与⊙M相切，再利用圆心M到直线的距离等于半径M，求解．（Ⅲ）对式子 通分后观察特点，在△BDE中，设∠DEB=θ，用三角形的面积相等和余弦定理用θ表示所求的式子，再进行整理后由正弦函数的单调性求最大值及θ．
【考点精析】利用圆的标准方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知圆的标准方程：；圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程．