Question

已知等差数列{a_n}的公差和等比数列{b_n}的公比都是d（d≠1），且a₁=b₁，a₄=b₄，a₁₀=b₁₀．
（1）求实数a₁和d的值；
（2）若b₁₆=a_k+1，求k的值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

3d

d3-1

=

9d

d9-1

，由d≠1得d=-

3	2

，a₁=

3d

d3-1

=

3	2

．
（2）b₁₆=b₁q¹⁵=a₁（q³）⁵=-32

3	2

，a_n=a₁+d（n-1）=2

3	2

-n

3	2

，由b₁₆=a_k+1，得-32

3	2

=2

3	2

-（k+1）

3	2

，由此能求出k．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}的公差和等比数列{b_n}的公比都是d（d≠1），且a₁=b₁，a₄=b₄，a₁₀=b₁₀．
∴a₁+3d=a₁d³，∴a1=

3d

d3-1

，
a1+9d=a1•d9，a₁=

9d

d9-1

，
∴

3d

d3-1

=

9d

d9-1

，
整理，得（d³-1）（d⁶+d³+1）-3（d³-1）=0，
∵d≠1，∴d³-1≠0，
∴（d⁶+d³+1）-3=0
∴（d³+2）（d³-1）=0
由d³-1≠0，得d³=-2，
解得d=-

3	2

，a₁=

3d

d3-1

=

3	2

．
（2）b₁₆=b₁q¹⁵=a₁（q³）⁵=-32

3	2

，
a_n=a₁+d（n-1）=2

3	2

-n

3	2

，
∵b₁₆=a_k+1，
∴-32

3	2

=2

3	2

-（k+1）

3	2

，
∴-32=2-（k+1）
k+1=34，解得k=33．

点评：本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．